Pieza del mes de junio de 2019: Reglas de Cálculo

Como pieza del mes de junio hemos seleccionado el juego de Reglas de Cálculo de la colección de implementos escolares del Museo Pedagógico Colombiano. Objeto empleado en la enseñanza de la aritmética y fabricado en Dinamarca en la década de 1950 por la empresa UTO.

Las reglas de cálculo, fueron un instrumento usado principalmente para la realización de divisiones y multiplicaciones, pero también sirve para efectuar operaciones aritméticas más avanzadas como las logarítmicas, trigonométricas o las raíces cuadradas, y que hizo las veces de calculadora mecánica rápida, útil y portátil, utilizada por generaciones de científicos, administradores, ingenieros, arquitectos y cualquier otra actividad que requiriese cálculo.

Referente a su historia, el primer diseño de esta herramienta data del S. XVII, sin embargo el precedente a las reglas de cálculo, es anterior al S. XVI cuando Galileo Galilei, detalló un sistema empleado en el cálculo de fórmulas de trigonometría, sistema arcaico procedente de los antiguos astrolabios, de instrumentos medievales y de diversas herramientas empleadas en navegación y astronomía como son los planisferios celestes, entre otros.

La discusión respecto a su invención se traduce que algunos historiadores apuntan que su inventor fue el matemático Edmund Wingate a mediados del siglo XVI, mientras que otros la atribuyen al clérigo inglés William Oughtred en 1636.

Como antecedente a su invención, el estudio de logaritmos de John Napier publicado inicialmente en 1614, fue retomado por el astrónomo Edmund Gunter quien lo aplicó a las escalas de cálculo en su Canon Triangulorum dando lugar a las primeras aplicaciones matemáticas de la escala logarítmica que es elemento clave y común de todas las reglas de cálculo; de este modo los logaritmos fueron acogidos y reformulados rápidamente.

Dispuestos en forma de tablas, el principio de funcionamiento de la regla de cálculo radica en el cálculo logarítmico, que transforma las multiplicaciones en sumas y las divisiones en restas.

GUNTER, Edmund (1581-1626). The Works: Containing the description and use of the Sector, Cross-staff, and other Instruments, With a Canon of artificall Sines and Tangents… a new treatise of Fortification, Whereunto is now added the further use of the Quadrant fitted for the daily preactise. By Sam. Foster. [image] Available at: https://www.christies.com/lotfinder/Lot/gunter-edmund-1581-1626-the-works-containing-the-4890341-details.aspx [Accessed 10 June 2019].

Gunter modificó la escala de logaritmos de Napier para realizar cálculos trigonométricos y William Oughtred tomó la escala de Gunter y colocó dos escalas que se deslizaban entre sí. Alineando los valores de las diferentes escalas era posible realizar cálculos aritméticos, dando lugar al primer prototipo de la regla de cálculo, que tiene su origen en los círculos de proporción, inventados también por Oughtred hacia 1625, que eran círculos deslizantes con una graduación logarítmica. La regla de cálculo fue una evolución de este invento en forma rectilínea.

A finales del S. XVII eran utilizadas en diferentes versiones, y con diversas aplicaciones. Entre algunos de los pioneros para los diseños de reglas de cálculo tenemos a Robert Bissaker y a Seth Patridge quienes en 1657 proponen una regleta móvil en su diseño. También en 1675 Sir Isaac Newton empleó tres escalas logarítmicas paralelas, siendo además el primero en sugerir el empleo de un cursor que facilitara las lecturas de los resultados.

Ya en el S. XVIII, las modificaciones de esta herramienta, se trataron de cambios en la forma con el objetivo de mejorar su precisión. De esta forma los ingenieros James Boulton y James Watt modifican los diseños existentes para mejorarlos. En 1815 el físico Peter Roget inventa la escala log-log con las que podía calcular cualquier raíz cuadrada. En 1831, Amédée Mannheim propuso uno de los primeros sistemas de estandarización de escalas, denominado Sistema Manheim, que incluyó una regleta deslizante que permitió una mejora para la realización de ciertos cálculos.

Posteriormente, en el S. XIX se masificó su uso. Por ejemplo, a finales de este siglo numerosas constructoras se propagaron a nivel mundial, por tanto las solicitudes de cálculos desde las oficinas de ingeniería aumentaron progresivamente y se debía atender la demanda creciente; además la Revolución Industrial, también propició un mayor volumen de cálculos esto por el uso de las maquinarias que modernizarían la industria. Estas dinámicas favorecieron que se fundaran diferentes empresas que fabricaban reglas de cálculo, entre estas las más importantes en la época fueron: Faber-Castell (1761) y Dennert & Pape (1863) en Alemania y Keuffel & Esser (1867), Eugene Dietzgen Drafting Company (1885) y Frederick Post Co. (1890) en Estados Unidos.

La existencia de diferentes marcas de reglas de cálculo en el mercado, junto a la evolución del Sistema Manheim y de otros sistemas de escala llevó a la necesidad de estandarizarlas, de esta manera en 1902 Max Rietz unifica los sistemas, y el nacimiento del Sistema Rietz hace que los constructores de reglas se pongan de acuerdo para igualar sus representaciones. Mejora que permitió, que por ejemplo, un ingeniero que aprendiera el Rietz le fuera posible manejar cualquier otro sistema que estuviera impreso en las caras de la regla permitiendo intercambiar y comparar las soluciones. El Sistema Rietz tuvo una gran aceptación hasta que en 1934, Alwin Walter propuso nuevos cambios en lo que se denominó Sistema Darmstadt.

A mediados del siglo XX las reglas de cálculo se encontraban en cualquier actividad que requiriera cálculos, desde la construcción, la electrónica, la meteorología, entre otros campos del conocimiento. Además, su uso para la enseñanza en colegios llevó a que se fabricara masivamente y que su utilidad para la práctica pedagógica en la enseñanza de la aritmética fuera colectiva. De los modelos originales hechos a mano en madera caoba, se pasó a finales del S. XIX a los fabricados con celuloide (y otros plásticos), bambú, magnesio y aluminio. Los nuevos métodos mecánicos de corte e impresión gráfica incrementaron la precisión de las reglas de cálculo y la velocidad de producción.

Entre la segundad mitad del S. XIX y buena parte del S. XX el uso de las reglas de cálculo fue extendido debido a que eran la herramienta de cálculo más utilizada en la ciencia y la ingeniería, esto por la facilidad de manejo, bajo costo y velocidad, hasta que a comienzos de los años setenta su comercialización decayó y su uso disminuyó considerablemente por la aparición y popularización de las calculadoras electrónicas de bolsillo y las primeras computadoras personales que aparte de tener mayor precisión en los cálculos, también combinaban las características de fácil manejo, bajo costo y velocidad. Así el cambio de generacional entre los ingenieros de los años setenta y los ochenta, represento el desuso paulatino de las reglas de cálculo.

Hoy día su uso y exposición está inscrito a museos, pese a que aún se siguen comercializando para los nostálgicos de la historia y como objetos de lujo. En ocasiones su uso se hace en aplicaciones concretas dentro de la enseñanza básica de las matemáticas.

Relativo a la descripción de nuestra pieza del mes, tenemos en primer lugar un cuerpo rectangular, que tiene una ranura en la parte central –sobre este espacio se desliza la regla móvil–. Sobre la parte superior e inferior del cuerpo rectangular de la regla de cálculo, aparecen dos regletas, más angostas y dentro del espacio de la ranura se desliza una regleta de mayor tamaño.

En las caras frontales de las tres regletas están grabadas las diversas escalas. Y sobre la parte trasera de la regleta móvil también están grabadas otras escalas, para cuyo uso hay que insertarla a la inversa. Por último, tiene una pieza móvil y transparente, que abarca la superficie frontal y que no lleva grabada más que una línea de referencia y tres líneas auxiliares más cortas. Esta pieza transparente se le llama cursor y sirve para facilitar la alineación y la lectura de los elementos numéricos que intervienen en las operaciones, para nuestro caso, el cursor actúa como lupa para mejorar el detalle de las lecturas.

Respecto al funcionamiento, lo esencial de la Reglas de Cálculo son las escalas numéricas, unas fijas y otras móviles, mediante las que se realizan las operaciones, lo anterior presupone que las marcas de las escalas están hechas con total precisión sobre las reglas. Característica solo de los ejemplares actuales, especialmente las comercializadas a partir de comienzos del S. XX, cuando empezaron a aplicarse técnicas mecánicas precisas de fabricación, en contraposición las fabricadas con anterioridad no tenía marcas totalmente precisas, ya que las escalas estaban marcadas individualmente o con técnicas deficientes, por lo que muchos cálculos realizados con ellas resultaban bastante imperfectos.

Sobre los tipos de escalas que tiene nuestra Regla de Cálculo, éstas se identifican por un símbolo alfabético grabado en el extremo izquierdo y aunque casi todos los modelos tengan escalas adicionales, los sistemas de escalas que tiene nuestra pieza del mes son:

Sistema Mannheim: A, B, C, D.

Regla de Cálculo UTO, No. 601 U (Denmark). Sistema Mannheim, Escalas A, B, C, D. Archivo Fotográfico Museo Pedagógico Colombiano (2019).

Sistema Rietz: A, B, C, D, K, L, CI, S, T, S&T.

Regla de Cálculo UTO, No. 601 U (Denmark). Sistema Rietz: A, B, C, D, K, L, CI, S, T, S&T. Archivo Fotográfico Museo Pedagógico Colombiano (2019).

La regla de cálculo tuvo un lugar relevante como vanguardia de las matemáticas relativamente breve; ya que se rápidamente se convirtió en un instrumento de uso cotidiano de profesores y profesionales. Pasó poco tiempo y las reglas de cálculo fueron adaptadas para el uso de agrimensores, carpinteros, navegantes, ingeniería militar y otras, además la aparición de diferentes manuales de instrucciones en distintos idiomas facilitó rápidamente su uso a nivel mundial. Por ejemplo, compartimos el manual de instrucciones de la regla de cálculo Faber-Castell No. 2/82 – 62/82 (que se comercializó en la década de los 60’s): https://museo.inf.uva.es/Imagenes/Varios/FB2_82/fa282.pdf

Para conocer el conjunto de reglas de cálculo, otros objetos de la historia y la práctica pedagógica, y los archivos pertenecientes al fondo documental que exhibimos en el Museo Pedagógico Colombiano, convocamos a la comunidad de la Universidad Pedagógica Nacional, estudiantes, egresados, investigadores, docentes, administrativos y miembros externos de la comunidad académica, colectivos pedagógicos y a todas las personas interesadas en conocernos, apoyarnos y difundir nuestras labores, a visitarnos de lunes a viernes entre 8:00 a.m. y 4:00 p.m. en las instalaciones del Museo ubicadas en Bogotá en la calle 127 Nº 11–20, en el Instituto Pedagógico Nacional. 

También los invitamos a seguirnos en nuestras redes sociales https://www.facebook.com/museopedagogicocolombiano/ y a explorar nuestra página web http://museopedagogico.pedagogica.edu.co/ para visualizar y compartir nuestros contenidos.

Palabras clave: Aritmética; Cálculo; Implementos Escolares; Pedagogía; Escalas de logaritmos; Enseñanza; Museo Pedagógico Colombiano.

 

Referencias

Regla de cálculo. (2019, 5 de abril). Wikipedia, La enciclopedia libre. Fecha de consulta: Junio 7, 2019 desde https://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_c%C3%A1lculo

Catálogo general del Museo Pedagógico Colombiano. (2017). Sin publicar.

Tomé, C. (2019). El primer instrumento logarítmico: La regla de cálculo. Cuaderno de Cultura Científica. Fecha de consulta: Junio 10, 2019. Desde: https://culturacientifica.com/2015/06/02/el-primer-instrumento-logaritmico-la-regla-de-calculo/

Ibáñez, J. (2019). Museo Informático de la Escuela de Ingeniería Informática UVa – Regla de cálculo. Fecha de consulta: Junio 10, 2019. Desde: https://museo.inf.uva.es/?0=Regla%20de%20c%C3%A1lculo

Sliderulemuseum.com. (2019). Nordic Slide Rules from Denmark and Sweden. Fecha de consulta: Junio 10, 2019. Desde: https://www.sliderulemuseum.com/Nordic.htm

Uciencia.uma.es. (2019). Reglas de cálculo. Fecha de consulta: Junio 10, 2019. Desde: http://www.uciencia.uma.es/Coleccion-cientifico-tecnica/Informatica/Galeria/Reglas-de-calculo2

Sistemas utilizados en las Reglas de Calculo. (2019). Reglasdecalculo.com. Fecha de consulta: Junio 10, 2019. Desde: https://www.reglasdecalculo.com/sistemas.html

Manuales de Instrucciones (Instruction Manuals) Reglas de Calculo (Slide Rules). Reglasdecalculo.com. Fecha de consulta: Junio 10, 2019. Desde:  https://www.reglasdecalculo.com/manuales.html

Pieza del mes de diciembre de 2018: Ábaco de Madera

Como pieza del mes de diciembre se ha seleccionado el ábaco de madera, instrumento utilizado en la enseñanza de la matemática en el siglo XIX y primera mitad del siglo XX.

La enseñanza de los rudimentos de aritmética fue uno de los elementos más importantes de la escuela pública en lo que actualmente es el territorio de Colombia dada su utilidad práctica, como se evidencia en el trabajo de Don Agustín Joseph Torres, primer maestro en el territorio de Colombia en escribir y publicar un texto didáctico: la Cartilla Lacónica de las quatro reglas de aritmética práctica que se fijó como propósito en 1797 que “la puerilidad tenga algunos principios de instrucción en beneficio del bien público” (Torres, 1797, p. 1), esto en relación con la escasa instrucción de la gran mayoría de la población en esta materia y las necesidades de vida cotidiana de la Santafé colonial con su naciente actividad mercantil en el que la aritmética tenía una función primordial en la resolución de problemas domésticos y comerciales.

Como lo señala Parra (2017), la escuela pública que en principio estuvo orientada por el desarrollo de los rudimentos de la triada “contar, leer y escribir” gradualmente dio paso a diferentes asignaturas o ramos de instrucción pública que se institucionalizan en el siglo XIX según los tres niveles de enseñanza de la época: elemental, medio y superior[1]. En el caso de la matemática aparecen, además de la aritmética, saberes como geometría, dibujo lineal y en el nivel superior elementos de algebra y teneduría de libros (inscripción de valores existentes en soportes). Sin embargo, la aritmética continuó siendo el énfasis en los tres niveles escolares con algunas variantes en su contenido.

Los utensilios para la enseñanza de la aritmética elemental en la escuela fueron variados y rudimentarios atendiendo a la antigua necesidad humana de representar con objetos reales cantidades para su cálculo, por lo que se ha hecho uso de piedras, semillas, ramas de los árboles e incluso los dedos de las manos, entre otros objetos para facilitar su aprendizaje. Con la expansión de la escuela y con ella la enseñanza de las matemáticas y sus distintos usos, se empezaron a utilizar diversos objetos con intencionalidades específicas.

Uno de los implementos más difundidos en la escuela fue el ábaco (marco de madera con barras paralelas por las que se desplazan esferas de colores) empleado para enseñar operaciones aritméticas simples e identificar valor posicional (unidades, decenas, centena). Este instrumento fue empleado por comerciantes, según se tiene registro, desde la antigua China, aunque se encuentran versiones de su presencia en otras culturas como la griega y egipcia.

El ábaco europeo, de donde procede el modelo actual, se basa en el modelo de las mesas de ábaco chinas que posteriormente se simplificaron con los bastidores de madera. El uso del ábaco se empezó a sustituir a partir del siglo XV para darle prioridad al cálculo de cifras, como puede apreciarse en el grabado de la enciclopedia Margarita Philosophica de Gregor Reisch (MVHE, 2010) donde se enfrentan en una competencia matemática Pitágoras (con expresión victoriosa) usando el ábaco (derecha) y Boecio empleando la numeración india (izquierda); sobre ellos una alegoría de la Aritmética como una mujer sosteniendo dos libros.

Tomado de: https://ciencia-arte.blogspot.com/2011/05
Tomado de: https://ciencia-arte.blogspot.com/2011/05

Si bien el cálculo de cifras predominó sobre el uso de los instrumentos, el ábaco se introdujo en la escuela como instrumento para la enseñanza intuitiva de las matemáticas según seguidores del método Pestalozzi como el español Mariano Vallejo (1779-1846) que recomienda en una de sus obras “empezar el estudio de la numeración auxiliándose de un tablero contador con filas móviles” (MVHE, 2010, p.4). En Colombia el ábaco es utilizado hasta nuestros días en la educación infantil para la enseñanza de las matemáticas.  

Los visitantes al Museo Pedagógico pueden observar en la colección objetos de enseñanza, además del ábaco (el cual no tiene una fecha exacta de elaboración dado su origen artesanal) otros implementos de enseñanza de la matemática como estuche de compases, reglas básicas y de cálculo, provienen de donaciones particulares e institucionales procedentes de diferentes nacionalidades y épocas.

Referencias

Museo Virtual de la historia de la Educación. Los ábacos escolares (1820-1860). Recuperado de:  https://www.um.es/muvhe/imagenes_categorias/3431_phpTqYDK8.pdf

Parra, G. (2017). Matemáticas como saber escolar en Colombia (1845–1906): gobierno, razón y utilidad. Pedagogía y Saberes, (47), 95.106. Recuperado de:  https://doi.org/10.17227/01212494.47pys95.106

 

 

 

 

 

 

Pieza del mes de mayo de 2018: Cartilla Lacónica de las Quatro Reglas de Aritmética Práctica

Portada de la Cartilla Lacónica de las quatro reglas de aritmética práctica. 1797

Para el mes de mayo, mes en que conmemoramos al maestro en nuestro país, escogimos esta “lacónica” cartilla de 22 páginas, publicada en 1797, porque se trata del primer texto de carácter didáctico publicado por un maestro en el territorio de lo que es hoy Colombia. La cartilla, como lo mencionan los investigadores Martínez, Castro y Noguera (1999, p. 109), “constituye un acontecimiento discursivo sin precedentes para aquel momento, en el que el acto de escribir estaba restringido a una preclara élite, y la circulación de impresos, celosamente controlada por el poder civil y eclesiástico”[1]. Su autor, don Agustín Joseph de Torres, encarnó el ideal del maestro como intelectual en la medida en que, a pesar de sus precarias condiciones laborales, a pesar de sus “urgencias lloradas” (como él mismo llamaba a su injusta situación que lo mantuvo a lo largo de su vida laboral como una especie de mendigo de un salario), consiguió escribir una cartilla, obtener el permiso para publicarla por parte de las autoridades virreinales y eclesiásticas y, además, financiarla de su propio peculio.

Don Agustín Joseph de Torres, nombrado maestro desde diciembre 13 de 1775, fue el cuarto maestro de la escuela de San Carlos de Santafé, primera escuela pública de la ciudad y de todo el Virreinato. Dicha escuela fue el lugar donde, por más de cuatro décadas, don Agustín procuró, como él decía, “la más perfecta educación en costumbres, letras e instrucción de la Religión”. Así aparece de su pulso y letra en uno de los expedientes del Archivo Nacional Histórico de Madrid[2], el registro de su voz, como una entre otras de muchos otros maestros que en el Virreinato de la Nueva Granada escribieron, antes que cartillas o materiales escolares, sendos expedientes con los que reclamaban el justo pago de su salario o el aumento del mismo para no perecer ahogados en sus “urgencias lloradas”.

Portada de la Cartilla Lacónica de las quatro reglas de aritmética práctica. 1797
Portada de la Cartilla Lacónica de las quatro reglas de aritmética práctica. 1797

El trabajo de don Agustín Joseph con su cartilla representa el saber de la aritmética práctica, saber derivado de las necesidades de vida cotidiana de la Santafé colonial con su naciente actividad mercantil en el que la aritmética tenía una función primordial en la resolución de problemas domésticos y comerciales. Como lo señala el propio maestro Torres, la cartilla tenía como propósito que “la puerilidad tenga algunos principios de instrucción en beneficio del bien público”(Torres, 1797, p. 1) dada la escasa instrucción de la gran mayoría de la población en esta materia.

Se conmemora la publicación de esta cartilla lacónica en el marco de la celebración del día del maestro como una tentativa de recuperar la propia historia de los avatares y vicisitudes del magisterio nacional y en contraposición al carácter meramente religioso que tiene en Colombia el día 15 de mayo (la canonización de San Juan Bautista, fundador de la comunidad de Hermanos de las escuelas cristianas). De esta forma, pretendemos llamar la atención sobre un maestro público como don Agustín Joseph de Torres que no es sólo un caso entre otros. Si bien su rostro y muchos datos de su vida nos resultan desconocidos, consiguió lo que bien puede considerarse un acontecimiento de orden pedagógico: escribir y publicar un texto para la enseñanza, una Cartilla Lacónica de las quatro reglas de Aritmética práctica.

Esta Cartilla es pieza fundamental de una exposición organizada por el IDEP y el Museo Pedagógico en 2005 Paradojas del Maestro que tiene una versión virtual en las exposiciones de esta página. La cartilla digitalizada se cuenta digitalizada en la sección de manuales escolares.

Referencias bibliográficas

Martínez, A; Castro, O; Noguera, E. (1999). ). Maestro, escuela y vida cotidiana en Santafé colonial. Bogotá: Sociedad Colombina de Pedagogía- SOCOLPE.

Torres A. (1797). Cartilla Lacónica de las quatro reglas de Aritmética práctica. Santafé: imprenta patriótica.

Notas 

[1] La alusión de la cartilla Lacónica de las quatro reglas de Aritmética práctica como hecho singular de un maestro público de finales de siglo XVIII se encuentra descrito en el libro Maestro, escuela y vida cotidiana en Santafé colonial  (1999) de los autores Alberto Martínez Boom, Jorge Orlando Castro y Carlos Ernesto Noguera. Texto producido en el marco del proyecto de investigación Historia de la práctica pedagógica durante la Colonia, financiado por la Universidad Pedagógica Nacional y Colciencias.

[2]Archivo Histórico Nacional de Madrid, Sección Jesuitas, Legajo 92, documento 17.